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4 janv. 2017

La suite de Fibonacci

Mathématicien italien né à Pise, Léonardo Bonacci a vécu à l’époque de la construction de la célèbre tour penchée. Il doit son surnom de « Fibonacci », contraction du latin « filius Bonaccii » à son père, marchand de la ville de Pise (grand lieu de commerce en Italie).











Très jeune, il accompagne son père en Algérie dans la colonie de Bougie (Bujania) pour être initié à l’arithmétique utile à un futur marchand. Mais son destin en voudra autrement et sera lié à celui de toutes les mathématiques occidentales à venir.

A cette époque, l’Italie utilise encore les chiffres romains. Il découvre en Afrique de Nord, la numération de position et le calcul indo-arabe qu’il juge plus avancé.

Ses voyages s’étendent par la suite sur toute la méditerranée, en Syrie, en Grèce, en Egypte... Il rencontre savants et scientifiques qui lui enseignent les savoirs du passé encore inconnus du monde occidental. Il y étudie les travaux d’Euclide d'Alexandrie (-320? ; -260?), de Héron d'Alexandrie (1er siècle de notre ère), de Mohammed al Khwarizmi (780 ; 850), …


Fibonacci

A son retour en Italie, vers 1200, il se consacre pleinement aux mathématiques par l’écriture de plusieurs ouvrages véritables passerelles de connaissances scientifiques entre deux civilisations.

Le premier et le plus célèbre, le Liber abaci, datant de 1202, nous transmet la numération de position indo-arabe.

Il rassemble des méthodes de calcul des opérations élémentaires, des résultats d’algèbre sur les racines carrées et cubiques, sur certaines équations du 1er et 2e degré mais aussi des critères de divisibilité, la décomposition d’un nombre en produits de facteurs premiers, etc.

On y trouve encore de nombreux problèmes comme celui exprimant la reproduction des lapins et menant à la suite dite de Fibonacci :

« Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de l'année si, commençant avec un couple, chacun des couples produisait chaque mois un nouveau couple lequel deviendrait productif au second mois de son existence ? »
 Les résultats de cette expérience donnèrent une suite de nombre entier correspondante aux pairs de lapereaux engendrés au fils des mois. Cette suite de nombre sera nommée la suite de Fibonacci, et sa découverte est d’une importance capitale.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, etc …

La naissance de vénus de Botticelli, construite avec la proportion d’Or

En effet, ce qui est surprenant est que cette suite est présente partout dans la nature. Elle décrit une trajectoire harmonieuse et constante, à partir d’un centre qui se déploie en spirale à l’infinie, comme un vortex. Pour obtenir les chiffres, rien de plus facile, il suffit d’additionner à chaque fois les 2 chiffres précédents. Quand on regarde la proportion de ses 2 chiffres qui permet de calculer le suivant, on s’aperçoit qu’ils correspondent étrangement à la proportion d’or.

Un puriste mathématicien soulignera, à juste titre, qu’au début de la suite de chiffre, cette proximité au nombre d’or est grossière, et ne correspond pas exactement à 1,6180339887…, mais plus les chiffres s’envolent, plus on se rapproche précisément du nombre d’or. Un pur hasard ?

Alors le hasard fait formidablement bien les choses, au point de flirter insolemment avec le surnaturel, ou le divin. La divine proportion porte bien son nom.

Illustration de Léonard de Vinci (Le nombre d'Or dans le corps humain)


L’enchainement harmonieux de la suite de Fibonacci


Les dimensions de la molécule d’ADN sont également en rapport avec la suite de Fibonacci. Le rapport entre sa longueur (34 angstroms) et sa largeur (21 angstroms) d’un cycle complet de la double hélice, est égal au nombre d’or.


L’ADN dans la cellule se présente comme une double hélice entrelacée. Cette forme a deux sillons dans ses spirales dans un rapport du nombre d’or entre grand et petit sillons respectivement environ 21 et 13 angstroms. Et on retrouve, comme par hasard, 3 chiffres clés : 13, 21, 34.

Visiblement, la proportion dorée est un modèle pour la nature, dans l’infiniment petit, comme dans l’infiniment grand. Pour s’en convaincre, nul besoin de formules scientifiques complexes, il suffit de contempler la beauté structurelle des quelques images qui suivent.



Cristaux de glace, une décomposition fractale


La plus belle représentation de la suite de Fibonacci


La suite de Fibonacci dans le cœur des fleurs


Déploiement des branches d'un arbre conformément à la suite de Fibonacci


La spirale de la suite de Fibonacci dans un cyclone


La spirale de la suite de Fibonacci dans une galaxie



La suite de Fibonacci semble fonctionner comme un accélérateur de création, une force qui s’auto-alimente continuellement. Généré par une microscopique impulsion cosmique, les forces engendrées on parcouru l’univers depuis l’origine des temps, grandissant et créant des structures fractales  qui véhiculent l’énergie et le temps, à l’échelle de nos galaxies et au-delà, toujours attirées vers un équilibre unique, l’harmonie d’Or.